مبرهنة فيرما الأخيرة

ملاحظة: هذا المنشور يدور حول قطعة عشوائية تماماً من نظرية الأعداد التي ظلت دون حل لأكثر من 300 عام، لكنني سأعترف أنها ليست مثيرة للاهتمام حقاً للأشخاص العاديين. خاصة هذا المنشور، حيث أنني أقوم تقريباً بسرقة مقال من ويكيبيديا لأنني وجدته مثيراً للاهتمام. إنها مدونتي وأفعل ما أريد.

تنص مبرهنة فيرما الأخيرة على أنه لا توجد ثلاثة أعداد صحيحة موجبة $a$ و $b$ و $c$ تحقق المعادلة $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ لأي قيمة صحيحة لـ $n$ أكبر من $2$.

الحالات $n = 1$ و $n = 2$ معروفة بوجود عدد لا نهائي من الحلول، وقد أشار Pierre de Fermat إلى ذلك تحديداً عندما قدم لنا القليل من المعلومات التي تركها.

القصة

كان Pierre de Fermat محامياً وعالماً رياضياً فرنسياً بارزاً. اعتاد أن يحتفظ بكتاب يضم أفكاراً رياضية مختلفة في ذلك الوقت، وكان يخربش البراهين على حواف الصفحات.

لمبرهنة فيرما الأخيرة قصة مثيرة للاهتمام للغاية. كان جالساً في منزله وحيداً ذات يوم بجانب المدفأة يرتشف النبيذ ويأكل الجبن؛ ويقرأ الرواية الكلاسيكية الرياضية المفضلة للجميع، طبعة عام 1670 من Diophantus’ Arithmetica. احتوى هذا الكتاب على الكثير من التخمينات والنظريات الرياضية التي كانت معتقدة في ذلك الوقت. كان يقرأ هذا الكتاب ويثبت التخمينات داخل هوامش الصفحات!

كانت إحدى النظريات الأخيرة في الكتاب هي المذكورة أعلاه، وقد كتب أنه يمكن إثباتها، ولكن لم تكن هناك مساحة كافية في هوامش الصفحات في ذلك الوقت. (يا للأسف) لذا لم يكتب البرهان فعلياً؛ وتوفي لسوء الحظ قبل كتابته. توفي Pierre de Fermat عن عمر يناهز 57 أو 58 عاماً، في 12 يناير 1665 في Castres، France. سبب وفاته غير معروف. قبل ثلاثة أيام من وفاته، كان يمارس أعمالاً قانونية في المحكمة المحلية. دُفن في كنيسة St. Dominique في Castres.

المشكلة

تركنا هذا أمام مشكلة صعبة للغاية، فكل البراهين الأخرى في الكتاب كانت صحيحة، لذا كان لدينا سبب للاعتقاد بأن هذه المبرهنة صحيحة أيضاً، لكن لم يكن لدينا طريقة لإثباتها!

أشعل هذا الأمر حماس مجتمع الرياضيات.

مع إثبات الحالة الخاصة $n = 4$ بواسطة Pierre de Fermat نفسه، يكفي إثبات المبرهنة للأسس $n$ التي هي أعداد أولية (يعتبر هذا الاختزال تافهاً في الإثبات، غالباً من قبل أساتذة الرياضيات الغاضبين). على مدى القرنين التاليين (1637–1839)، تم إثبات التخمين فقط للأعداد الأولية $3$ و $5$ و $7$، على الرغم من أن Sophie Germain ابتكرت وأثبتت نهجاً كان ذا صلة بفئة كاملة من الأعداد الأولية.

قام Ernst Kummer بتوسيع هذا وأثبت المبرهنة لـ جميع الأعداد الأولية المنتظمة، تاركاً الأعداد الأولية غير المنتظمة ليتم تحليلها بشكل فردي. بناءً على عمل Ernst Kummer وباستخدام دراسات حاسوبية متطورة (ربما كانت مجرد big for loop بصراحة)، تمكن علماء رياضيات آخرون من توسيع البرهان ليشمل جميع الأسس الأولية حتى أربعة ملايين، لكن البرهان لجميع الأسس كان بعيد المنال (مما يعني أنه كان إما مستحيلاً، أو صعباً للغاية، أو لا يمكن تحقيقه بالمعرفة الحالية).

الغموض يزداد

بشكل منفصل تماماً، حوالي عام 1955، اشتبه عالما الرياضيات اليابانيان Goro Shimura و Yutaka Taniyama في وجود صلة بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية، وهما مجالان مختلفان تماماً في الرياضيات. عُرف في ذلك الوقت باسم تخمين Taniyama–Shimura-Weil، و(في النهاية) باسم مبرهنة النمطية، وقد وقف بمفرده دون أي صلة واضحة بمبرهنة فيرما الأخيرة. كان يُنظر إليه على نطاق واسع على أنه مهم وبارز في حد ذاته، ولكنه كان (مثل مبرهنة فيرما) يُعتبر بعيد المنال تماماً عن الإثبات.

آخر شخص تعذب بسبب هذا “المتصيد” الفرنسي

هنا يأتي Andrew Wiles، الذي نشأ مع افتتان طفولي بمبرهنة فيرما (ليست طفولة ممتعة في رأي هذا الكاتب). كان لديه خلفية في العمل مع المنحنيات الإهليلجية والمجالات ذات الصلة، وقرر محاولة إثبات تخمين Taniyama–Shimura كوسيلة لإثبات مبرهنة فيرما الأخيرة. في عام 1993، وبعد ست سنوات من العمل في سرية على المشكلة، نجح Andrew Wiles في إثبات ما يكفي من التخمين لإثبات مبرهنة فيرما الأخيرة. كانت ورقة Andrew Wiles ضخمة في الحجم والنطاق. تم اكتشاف خلل في جزء واحد من ورقته الأصلية أثناء مراجعة الأقران وتطلب الأمر عاماً آخر وتعاوناً مع طالب سابق، Richard Taylor، لحله. مقابل برهانه، حصل Andrew Wiles على جائزة Abel Prize لعام 2016.

تخيل أن تكرس حياتك لحل مشكلة، وتقضي ست سنوات في سرية لتكتشف وجود خطأ عند نشر الحل. اللحظة التي اكتشف فيها القطعة المفقودة وأكمل البرهان بعد عام إضافي لا بد أنها كانت مذهلة.

“كنت جالساً على مكتبي أفحص طريقة Kolyvagin–Flach. لم يكن الأمر أنني اعتقدت أنني أستطيع جعلها تعمل، لكنني اعتقدت أنه على الأقل يمكنني شرح سبب عدم عملها. فجأة راودني هذا الإلهام المذهل. أدركت أن طريقة Kolyvagin–Flach لم تكن تعمل، لكنها كانت كل ما أحتاجه لجعل نظرية Iwasawa theory الأصلية الخاصة بي تعمل منذ ثلاث سنوات مضت. لذا من رماد Kolyvagin–Flach بدا وكأن الإجابة الحقيقية للمشكلة قد ظهرت. كانت جميلة بشكل لا يوصف؛ كانت بسيطة للغاية وأنيقة للغاية. لم أستطع فهم كيف فاتني ذلك وظللت أحدق فيه في حالة من عدم التصديق لمدة عشرين دقيقة. ثم خلال النهار كنت أتجول في القسم، وكنت أعود باستمرار إلى مكتبي لأرى ما إذا كان لا يزال هناك. كان لا يزال هناك. لم أستطع تمالك نفسي، كنت متحمساً للغاية. كانت أهم لحظة في حياتي العملية. لا شيء سأفعله مرة أخرى سيعني لي الكثير.” — Andrew Wiles، كما نقل عنه Simon Singh

هذه هي القصة الصغيرة والممتعة لمبرهنة فيرما الأخيرة، التي تم إثباتها ونشرها رسمياً في عام 1995، بعد 358 عاماً من تصورها لأول مرة؛ بفضل تفاني Andrew Wiles.

ملاحظة: كما قلت، لم يكن لدي الكثير لأعتمد عليه عندما يتعلق الأمر بالمنشور الثاني الذي وعدت به، ولكن ها هو ذا. آمل أن تكون القصة وراء هذا الشيء الممتع مثيرة للاهتمام نسبياً، لم يكن لدي الوقت أو الخلفية للخوض في البرهان هنا، ولكن يمكنك العثور على الورقة المرتبطة أدناه. (تزيد عن 100 صفحة لذا استمتع بوقتك.)

المصادر

• تحقق من ورقة Andrew Wiles هنا.
• Wikipedia lol